臨床工学技士問題表示
臨床工学技士国家試験
解説
j は虚数単位であり $j^2=-1$。与式は共役な複素数の積で、一般に $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ が成り立つ。よって $(1+j)(1-j)=1^2-j^2=1-(-1)=2$。別解として、共役の積は絶対値の二乗に等しい性質より $|1+j|^2=1^2+1^2=2$ でも同じ結果が得られる。
選択肢別解説
誤り。$(1+j)(1-j)=1-j^2=1-(-1)=2$ であり 0 にはならない。
誤り。$\sqrt{2}$ は複素数 $1+j$ の絶対値だが、ここで求めるのは共役同士の積であり $|1+j|^2=2$ となる。
正しい。$(1+j)(1-j)=1-j^2=1-(-1)=2$。共役の積は絶対値の二乗 $|1+j|^2$ に等しく、$1^2+1^2=2$ でも確認できる。
誤り。$\sqrt{2}-j\sqrt{2}=\sqrt{2}(1-j)$ は $1-j$ を実数 $\sqrt{2}$ 倍した複素数であり、与式の積の結果（実数 2）とは一致しない。
誤り。$\sqrt{2}+j\sqrt{2}=\sqrt{2}(1+j)$ は $1+j$ を実数 $\sqrt{2}$ 倍した複素数であり、与式の積の結果（実数 2）とは一致しない。
解説
虚数単位の基本関係 $j^2=-1$ を用いて計算する。まず $(1-j)^2=1-2j+j^2=1-2j-1=-2j$。これをもう一度二乗して $(1-j)^4=(-2j)^2=4j^2=4(-1)=-4$ となる。よって等しい値は -4。
選択肢別解説
正しい。$(1-j)^2=-2j$、さらに二乗して $(1-j)^4=(-2j)^2=4j^2=4(-1)=-4$。
誤り。$(1-j)^2$ は $-2j$ であり $-2$ ではない。さらに四乗は $-4$ となる。
誤り。$1-j\neq 0$ なので $(1-j)^4$ も $0$ にはならない。実際に計算すると $-4$ である。
誤り。計算結果は負の実数であり、$2$ ではない。$(1-j)^4=-4$。
誤り。途中で $(-2j)^2=4j^2$ となるが、$j^2=-1$ より $4$ ではなく $-4$。
解説
複素数 z=a+bj の絶対値は $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ で、積や商に対して $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$、特に $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}$ が成り立つ。各選択肢をこの性質で評価すると、(1) $|1/j|=1$、(2) $\left|\frac{1}{1+j}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx0.707$、(3) $\left|\frac{1}{2-j}\right|=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\approx0.447$、(4) $\left|\frac{1-j}{2+j}\right|=\frac{|1-j|}{|2+j|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\approx0.632$、(5) $\left|\frac{1-j}{1+j}\right|=\frac{|1-j|}{|1+j|}=1$。よって最も小さいのは選択肢3。
選択肢別解説
$\frac{1}{j}=\frac{1}{j}\cdot\frac{j}{j}=\frac{j}{j^2}=\frac{j}{-1}=-j$ となり、$|-j|=1$。他に 1 未満の値があるため最小ではない。
$\left|\frac{1}{1+j}\right|=\frac{1}{|1+j|}=\frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx0.707$。選択肢3の約0.447より大きい。
$\left|\frac{1}{2-j}\right|=\frac{1}{|2-j|}=\frac{1}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}\approx0.447$。5つの中で最小。
$\left|\frac{1-j}{2+j}\right|=\frac{|1-j|}{|2+j|}=\frac{\sqrt{1^2+(-1)^2}}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\approx0.632$。選択肢3より大きい。
$\left|\frac{1-j}{1+j}\right|=\frac{|1-j|}{|1+j|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$。最小ではない。
解説
オイラーの公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ を用いる。$\theta=\pi$ を代入すると、$\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$ より $e^{i\pi}=-1$ となる。電気・電子分野では虚数単位に $j$ を用いることが多いが、いずれにせよ $e^{i\pi}$（あるいは $e^{j\pi}$）の値は実数の $-1$ であり、虚数成分は生じない（参考として有名な恒等式 $e^{i\pi}+1=0$ が成り立つ）。
選択肢別解説
正しい。オイラーの公式より $e^{i\pi}=-1$。なお、選択肢表記が"?1"となっており数値として不適切だが、正しい値は $-1$ である。
誤り。$e^{i\pi}=-1$ であり $0$ にはならない。$\cos\pi=-1$、$\sin\pi=0$ より虚数成分も 0 で、値は実数 $-1$。
誤り。$e^{i\pi}=-1$ であり $1$ ではない。単位円上で角 $\pi$ は実軸の $-1$ に対応する。
誤り。$-j$（あるいは $-i$）ではない。$e^{i\pi}$ は実数 $-1$ で虚数成分は 0。表記"-J"も一般的な虚数単位の表記（小文字 $j$ または $i$）と異なる。
誤り。$j$（あるいは $i$）ではない。$e^{i\pi}$ は実数 $-1$ であり虚数成分は生じない。表記"J"も虚数単位の慣用表記（小文字）と一致しない。
解説
複素数の絶対値は $z=a+bj$ に対して $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ と定義され、積に対しては $|\alpha\beta|=|\alpha|\,|\beta|$ が成り立つ。これを用いると、$|1+j|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$、$|\sqrt{3}-j|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{3+1}=2$ である。したがって $|(1+j)(\sqrt{3}-j)|=|1+j|\,|\sqrt{3}-j|=\sqrt{2}\cdot 2=2\sqrt{2}$ となる。直接展開して $(1+j)(\sqrt{3}-j)=(\sqrt{3}+1)+j(\sqrt{3}-1)$ としても、絶対値は $\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2+(\sqrt{3}-1)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ と確認できる。
選択肢別解説
誤り。求める絶対値は $2\sqrt{2}\approx 2.828$ であり、$2$ とは一致しない。
正しい。$|\alpha\beta|=|\alpha|\,|\beta|$ より $|1+j|=\sqrt{2}$、$|\sqrt{3}-j|=2$、したがって $|(1+j)(\sqrt{3}-j)|=\sqrt{2}\cdot 2=2\sqrt{2}$。
誤り。$2\sqrt{3}\approx 3.464$ で、正しい結果 $2\sqrt{2}\approx 2.828$ とは一致しない。
誤り。$2\sqrt{3}-2\approx 1.464$ で、正しい結果の $2\sqrt{2}\approx 2.828$ と一致しない。
誤り。絶対値の計算結果は $2\sqrt{2}$ であり、$8$ ではない。
解説
複素数 $z=\frac{1}{1-j\sqrt{2}}$ の絶対値は、性質 $\left|\frac{1}{w}\right|=\frac{1}{|w|}$ を用いると $|z|=\frac{1}{|1-j\sqrt{2}|}$ で求められる。分母の絶対値は $|1-j\sqrt{2}|=\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}$ だから、$|z|=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0.577$。選択肢の中では 0.6 が最も近い。なお、有理化で確認するなら $\frac{1}{1-j\sqrt{2}}=\frac{1+j\sqrt{2}}{(1)^2+(\sqrt{2})^2}=\frac{1+j\sqrt{2}}{3}$ なので、$\left|\frac{1+j\sqrt{2}}{3}\right|=\frac{\sqrt{1^2+(\sqrt{2})^2}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ と一致する。
選択肢別解説
不正解。計算により $\left|\frac{1}{1-j\sqrt{2}}\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0.577$。0.2 との差は約 0.377 で大きく、最も近い値ではない。
正解。$\left|\frac{1}{1-j\sqrt{2}}\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0.577$ に最も近いのは 0.6（差約 0.023）である。
不正解。真の値は約 0.577 であり、1.0 は過大（差約 0.423）。最も近い値ではない。
不正解。真の値は約 0.577 で、1.6 は大きく離れている（差約 1.023）。
不正解。真の値は約 0.577 で、2.0 は大きく離れている（差約 1.423）。
解説
虚数単位を $j$（$j^2=-1$）として、与えられた複素数を整理すると $Z=j(1-j)=j-j^2=j-(-1)=1+j$ となる。$1+j$ は複素平面の第1象限（実部1、虚部1）に位置し、偏角は実軸正方向からの角度である。したがって $\tan\theta=\frac{1}{1}=1$ より $\theta=\tan^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}$ となる。別解として偏角の加法性を用いれば、$\arg\{j(1-j)\}=\arg(j)+\arg(1-j)=\frac{\pi}{2}+\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}$ となり、いずれの方法でも偏角は $\frac{\pi}{4}$ である。
選択肢別解説
誤り。$\pi$ は実軸負方向（第2・第3象限境界）の角度であり、$Z=1+j$ は第1象限に位置するため該当しない。
誤り。$\frac{\pi}{2}$ は純虚軸正方向（実部0）の角度であるが、$Z=1+j$ は実部も虚部も1であり、偏角は $\frac{\pi}{4}$ である。
正しい。$Z=j(1-j)=1+j$ で、$\tan\theta=\frac{1}{1}=1$ より $\theta=\tan^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}$。偏角の加法性でも $\arg(j)+\arg(1-j)=\frac{\pi}{2}+\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}$。
誤り。$0$ は実軸正方向（虚部0）の角度だが、$Z=1+j$ は虚部が1で実軸上にはない。
誤り。$-\frac{\pi}{4}$ は第4象限の角度であり、$Z=1+j$ は第1象限に位置するため一致しない。
解説
複素数の絶対値は $z=a+jb$ に対して $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ で定義される。積の絶対値は $|ab|=|a||b|$ であり、したがって逆数について $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}$ が成り立つ。与えられた $\frac{1}{\sqrt{3}-j}$ では分母の絶対値が $|\sqrt{3}-j|=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{3+1}=2$ となるため、全体の絶対値は $\frac{1}{2}$ である。
選択肢別解説
不正解。$\left|\frac{1}{\sqrt{3}-j}\right|=\frac{1}{|\sqrt{3}-j|}=\frac{1}{2}$ であり、$\frac{1}{5}$ にはならない。なお有理化すると $\frac{1}{\sqrt{3}-j}=\frac{\sqrt{3}+j}{4}$ で、その絶対値は $\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{4})^2+(\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{2}$ と一致する。
不正解。分母の絶対値は $|\sqrt{3}-j|=2$ なので、全体は $\frac{1}{2}$ である。$\frac{1}{4}$ にはならない。
不正解。$|\sqrt{3}-j|=2$ より $\left|\frac{1}{\sqrt{3}-j}\right|=\frac{1}{2}$。$\frac{1}{3}$ ではない。
正解。$|\sqrt{3}-j|=\sqrt{3+1}=2$ であり、$\left|\frac{1}{\sqrt{3}-j}\right|=\frac{1}{2}$ となる。
不正解。$|\sqrt{3}-j|=2$ なので、逆数の絶対値は $1$ ではなく $\frac{1}{2}$ である。
解説
複素数 z = x + yj の偏角は、複素平面で実軸正方向と点 (x, y) を結ぶ線分のなす角で、x > 0 のときは $\tan\theta = y/x$ で求められる。$\pi/4$ では $\tan(\pi/4)=1$ なので、実部と虚部が等しく正の組 (x=y>0) を満たす必要がある。選択肢では $1+j$ が x=1, y=1 でこの条件を満たす。他の選択肢は y/x が 1 でないか、符号が異なって第IV象限となるため該当しない。
選択肢別解説
$1+j$ は実部 x=1、虚部 y=1。$\tan\theta = y/x = 1$ より $\theta = \pi/4$（第I象限）。よって該当。
$1+2j$ は x=1、y=2。$\tan\theta = 2$ であり $\pi/4$（$\tan=1$）ではない。よって該当しない。
$2+\sqrt{3}\,j$ は x=2、y=\sqrt{3}。$\tan\theta = (\sqrt{3})/2 \neq 1$ なので $\pi/4$ ではない。
$1-j$ は x=1、y=-1。$\tan\theta = -1$、第IV象限で主値は $-\pi/4$。$\pi/4$ ではない。
$1-2j$ は x=1、y=-2。$\tan\theta = -2$、第IV象限で $\pi/4$ ではない。
解説
複素数の積の偏角は和になる性質を用いる。すなわち $\arg\{Z(\sqrt{3}+j)\}=\arg Z+\arg(\sqrt{3}+j)$（主値、$2\pi$ の剰余を除く）。$\sqrt{3}+j$ は実部が $\sqrt{3}$、虚部が $1$ なので $\tan\theta=1/\sqrt{3}$ から $\arg(\sqrt{3}+j)=\pi/6$。よって積の偏角を $\pi/2$ とするには $\arg Z=\pi/2-\pi/6=\pi/3$ である必要がある。偏角が $\pi/3$ の複素数は $b/a=\tan(\pi/3)=\sqrt{3}$ を満たすので、選択肢中では $Z=1+j\sqrt{3}$ が該当する。
選択肢別解説
Z=1 の偏角は 0（$\arg 1=0$）。したがって $\arg\{Z(\sqrt{3}+j)\}=0+\pi/6=\pi/6$ で、$\pi/2$ にはならない。
Z=j の偏角は $\pi/2$。よって積の偏角は $\pi/2+\pi/6=2\pi/3$ で、$\pi/2$ ではない。
Z=1+j の偏角は $\pi/4$。したがって積の偏角は $\pi/4+\pi/6=5\pi/12$ となり、$\pi/2$ ではない。
Z=1+j\sqrt{3}$ は $b/a=\sqrt{3}/1=\sqrt{3}$ で偏角が $\pi/3$。よって $\arg\{Z(\sqrt{3}+j)\}=\pi/3+\pi/6=\pi/2$ となり条件を満たす。
Z=\sqrt{3}+j の偏角は $\pi/6$。したがって積の偏角は $\pi/6+\pi/6=\pi/3$ で、$\pi/2$ ではない。
解説
与えられた複素数 $z=\frac{-\sqrt{3}+j}{1+j\sqrt{3}}$ を分母の共役で有理化する。すなわち $(1-j\sqrt{3})$ を分子分母に掛けると、分子は $(-\sqrt{3}+j)(1-j\sqrt{3})=-\sqrt{3}+3j+j+\sqrt{3}=4j$、分母は $(1+j\sqrt{3})(1-j\sqrt{3})=1-(j\sqrt{3})^2=1-(-3)=4$ となる。よって $z=\frac{4j}{4}=j$。複素数平面で $j$ は点 $(0,1)$ に対応し、偏角は実軸正方向から反時計回りに $\frac{\pi}{2}$ である。したがって正答は $\frac{\pi}{2}$。
選択肢別解説
$-\frac{\pi}{2}$ は虚軸負方向（$-j$）の偏角である。本問の値は有理化により $z=j$ となるため該当しない。
$-\frac{\pi}{6}$ は第4象限の小さい負の偏角であり、$z=j$（虚軸正方向）の偏角とは一致しない。
偏角が 0 となるのは正の実数（実軸正方向）の場合である。$z=j$ は実部0・虚部正であり偏角は $\frac{\pi}{2}$。
$\frac{\pi}{6}$ は第1象限で 30° の偏角に相当するが、計算で $z=j$（偏角 $\frac{\pi}{2}$）となるため不適。
有理化により $z=j$ と求まる。$j$ は複素数平面上の点 $(0,1)$ で偏角は $\frac{\pi}{2}$ となるため正しい。
解説
与式 $Z=\frac{-\sqrt{3}-j}{2j}$ を $a+jb$ 形に直す。分母を実数化するため分子分母に $j$ を掛けると、$Z=\frac{(-\sqrt{3}-j)j}{2j^2}=\frac{-\sqrt{3}j-j^2}{-2}=\frac{-\sqrt{3}j+1}{-2}=-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる。よって実部 $a=-\tfrac{1}{2}$、虚部 $b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$。この点は第II象限（$\cos\theta<0,\ \sin\theta>0$）にあり、$\cos\theta=-\tfrac{1}{2}$、$\sin\theta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす角は $\theta=\tfrac{2}{3}\pi$（120°）である。したがって偏角は $\tfrac{2}{3}\pi$。
選択肢別解説
$-\pi$ は実数負軸方向（第III・IV境界）で、$a=-1,\ b=0$ に対応する角である。本問の $a=-\tfrac{1}{2},\ b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$（第II象限）とは一致しないため不適。
$-\tfrac{2}{3}\pi$ は $-120^\circ$（時計回り）で第III象限に相当し、虚部が負となる。本問は $b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}>0$ で第II象限なので不適。
$-\tfrac{1}{3}\pi$ は $-60^\circ$（第IV象限）で実部正・虚部負となる。本問は実部負・虚部正（第II象限）なので不適。
$\tfrac{1}{3}\pi$ は $60^\circ$（第I象限）で実部・虚部とも正となる。本問は $a=-\tfrac{1}{2}<0,\ b=\tfrac{\sqrt{3}}{2}>0$（第II象限）なので不適。
$\tfrac{2}{3}\pi$ は $120^\circ$（第II象限）。与式を $-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ に整理でき、$\cos\theta=-\tfrac{1}{2}$、$\sin\theta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす角は $\theta=\tfrac{2}{3}\pi$ であるため適切。
解説
複素数 $Z=\frac{1}{1+j\sqrt{3}}$ の偏角は、分母の共役複素数を用いて実部・虚部を求めると判定できる。分母分子に $1-j\sqrt{3}$ を掛けると、$Z=\frac{1-j\sqrt{3}}{(1)^2+(\sqrt{3})^2}=\frac{1-j\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}-j\frac{\sqrt{3}}{4}$ となる。実部が正、虚部が負なので第IV象限に位置し、$\theta=\operatorname{atan2}\bigl(-\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{1}{4}\bigr)=-\arctan(\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$ である。大きさは $|Z|=\sqrt{(1/4)^2+(\sqrt{3}/4)^2}=1/2$ で、$\cos\theta=\frac{1/4}{1/2}=1/2$, $\sin\theta=\frac{-\sqrt{3}/4}{1/2}=-\sqrt{3}/2$ も満たし、$\theta=-\frac{\pi}{3}$ が確定する。
選択肢別解説
正しい。$\frac{1}{1+j\sqrt{3}}=\frac{1}{4}-j\frac{\sqrt{3}}{4}$ は第IV象限にあり、$\tan\theta=\frac{\operatorname{Im}}{\operatorname{Re}}=\frac{-\sqrt{3}/4}{1/4}=-\sqrt{3}$ より $\theta=-\arctan(\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$ となる。
誤り。$\theta=-\frac{\pi}{6}$ のとき $\tan\theta=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ で、与えた複素数の比 $\frac{\operatorname{Im}}{\operatorname{Re}}=-\sqrt{3}$ と一致しない。
誤り。偏角が 0 となるのは虚数部が 0 の正の実数のときだが、本例は虚数部が $-\sqrt{3}/4$ で 0 ではない。
誤り。$\theta=\frac{\pi}{6}$ は第I象限（虚部正）だが、本例は虚部が負で第IV象限に位置する。
誤り。$\theta=\frac{\pi}{3}$ は第I象限（虚部正）。本例の角度は大きさとしては $\pi/3$ 相当だが符号が負で、主値は $-\pi/3$ である。